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模糊 DID 中的 Wald-TC 估计量

de Chaisemartin & d'Haultfoeuille (2018) 提出了 Wald-TC（Time-Corrected Wald）估计量，解决了 Wald-DID 在处理效应异质时的偏误问题。

模糊 DID 真正想要估计的是处理组转换者（Treatment Switchers）的 LATE。

Treatment Switchers：处理状态随时间变化的个体。

案例：地区 A（处理组）：

$\text{Wald-DID} = \alpha \Delta + (1 - \alpha) \Delta'$

其中：

Wald-DID 从宏观组处理率的变化来建模，而 WTC 深入到组内部：

核心假设：在政策前（ $T=0$ ）处理状态相同的个体，如果没有政策干扰，未来的自然增长速度相同。

$E[Y(d) \mid G=1, T=1, D(0)=d] - E[Y(d) \mid G=1, T=0, D(0)=d] = E[Y(d) \mid G=0, T=1, D(0)=d] - E[Y(d) \mid G=0, T=0, D(0)=d]$

即：处理组中初始状态为 $d$ 的人的自然增长 = 控制组中初始状态为 $d$ 的人的自然增长。

$\delta_d = E[Y_{01}(d) \mid D(0)=d] - E[Y_{00}(d) \mid D(0)=d]$

参数	含义	用途
$\delta_0$	未参加项目的人随时间的自然变化	扣除处理组中"从不参加"人群的时间趋势
$\delta_1$	已参加项目的人随时间的自然变化	扣除处理组中"原本就参加"人群的时间趋势

$\text{WTC} = \frac{E[Y_{11}] - E[Y_{10} + \delta_{D_{10}}]}{E[D_{11}] - E[D_{10}]}$

其中：

分子：处理组结果的总增量（扣除自然增长趋势后）
- 对每个个体，根据其 $D$ 状态加上对应的 $\delta$ 调整
- 非转换者的调整后差值为 0
- 转换者的差值 = 实际观察值 - 反事实观察值
分母：处理组参与率的净变化

$\text{WTC} = \frac{\text{Switchers 带来的平均结果增量}}{\text{Switchers 的比例}}$

标准化过程：匹配"真实改变行为的人的比例"与"真实改变的结果"。